ప్రాచీన గణిత శాస్త్రము

Mathematics in Ancient India

‘విద్’ అన్న ధాతువు వేదమునకు మూలము. దీనికి మనము ‘తెలుపు లేక తెలియజేయు’ అన్న అర్థమును గ్రహించ వచ్చును. ‘వేదము’ తెలుపునది వేద్యము, అంటే ‘తెలుసుకొనదగినది’. విదితము అంటే ‘తెలిసినదియని అర్థము. ‘అనంతో వై వేదాః’ అనియు ‘వేదం అపౌరుషేయం’ అనియు అన్నారు. వ్యాస మహర్షి దయతో వేద విభజన చేయుట చేత వేదము రుగ్యజుస్సామాధర్వణ మన్న నాలుగు భాగములుగా విభజింప బడినది. ఈ వేదాలకు 1198 శాఖలు ఉండేవని చెబుతారు. ఇప్పుడు 1౩ మాత్రమె లభిస్తున్నాయట. అంటే 1.1 శాతము మాత్రమె మిగిలి యున్నాయి అని అర్థము కదా! మరి తగ్గినా శ్రద్ధను పెంచి తగిన శ్రద్ధను తీసుకుంటేనే మనకు ఇవియైనా మిగులుతాయి.
గురజాడ వారు వ్రాసిన కన్యాశుల్కము లోని ‘అన్నీ వేదాలలో వున్నాయిష’ అన్న పలుకుబడి, వేదముల మరియు సనాతన సంస్కృతిని ఇటు తెలుసుకొను ప్రయత్నమే చేయని మనకు అటు వేదమంటేనే ఏమిటో తెలియని పర మతస్తులకు, వేదములను అవహేళన చేయుటకు, వెక్కిరించుటకు, ఎద్దేవా చేయుటకు, పూర్వ పక్షము చేయుటకు, నీచముగా చూచుటకు ఊతమైపోయింది. పరమత గ్రంథాలను ఒక మాట చెడ్డగా అంటే చాలు తలలు తెగుతాయి. అటువంటిది ప్రపంచ విజ్ఞానమునకే మూలాధారమైన వేదములను దూషిస్తూ వుంటే మనకు చీమ కుట్టినట్లు కూడా అనిపించక పోవటము మన చర్మము యొక్క మందమును తెలుపుచున్నది. ‘ఇంట్లోవాడే పెట్టేరా కంట్లో పుల్ల’ అన్న సామెతను ఇది రుజువు చేయుచున్నది. అసలు వేదాంగాలను ఆపోశన పడితేనే పరిభాష వేదం ఘోష మనము అర్థము చేసుకోన గలిగేది.
ప్రాచీన భారతమున గణితము శతకోటి సూర్య సంకాశాముతో వెలిగినది. మన ప్రాచీన శాస్త్రజ్ఞులు కూడా గణితము వాడబడని శాస్త్ర విభాగమే లేదని నిర్ద్వంద్వముగా నొక్కి వక్కాణించినారు. కొందరు శాస్త్రవేత్తలు ఈ విభాగము క్రీ.పూ. 1200 మొదలు క్రీ.శ. 18 వ శతాబ్దము వరకు ఎంతో గొప్పగా వేలుగొందిందని చెబుతారు. కానీ నామనసు నన్ను ఈ విధముగా ప్రశ్నించుతూ వుంటుంది. గత మహాయుగములు పరిగణింపక ఈ మహా యుగము మాత్రమె పరిగణించితే కృత త్రేతా ద్వాపర యుగములతో బాటు కలియుగము లోని 5117 సంవత్సరములు గతించినవి.
కృతయుగము     =     1728000
త్రేతాయుగము     =     1296000
ద్వాపర యుగము  =     864000
కలియుగము  (ఇప్పటికి) =  5117

వెరశి 3893117 సంవత్సరములు జరిగినవి మన కాల గణన ప్రకారము. మనము ఇప్పటి వరకు జరిగిన ఈ నాలుగు యుగాలు తీసుకుంటే 3893117 సంవత్సరములలో ఎన్ని మార్లు యజ్ఞాలు చేసియుంటాము. కృత యుగములో జరిగిన మొదటి క్రతువునకు వైదిక గణిత సంయుక్తముగానే వేదికలు తయారు చేసి యుండవలెను కదా!   ఎందుకంటే యజ్ఞ యాగములకు వేదములు ప్రమాణములు. ఏ చతురస్రము, ఏ త్రిభుజము ఏ కొలతలతో వుండవలెనన్నది వేదనిర్దేశితము. కావున గణితము కూడా అంతే సనాతనమైనదని భావించవలెను కదా! ఇక గ్రంధ రచనను గూర్చి ఆలోచిస్తే మన వారు మౌఖికమునకు , ఛందస్సుకు మిక్కిలి ప్రాధాన్యతనిచ్చి గద్యయుక్తమగు గ్రంథ రచనలకు పూనుకోలేదు. అసలు ఛందస్సంతా గణితశాస్త్రమే! ఈ కారణముగా పాశ్చాత్య గణితవేత్తలు మన భారతీయ గణితము యొక్క సరియైన  కాలనిర్ణయము చేయలేక పొయినారు. ఆర్యభట్టు, బ్రహ్మగుప్తుడు, భాస్కరుడు ii, గణిత అభ్యున్నతికి వరదాతలని తలస్తే  ఇంకా మహాదాత లెందరో వున్నారు. 0,1,2,3... అంకెలు. వాస్తవసంఖ్యలు, దశాంశ విధానము,  త్రికోణమితి మొదలగునవి మచ్చునకు కొన్ని మాత్రమె!

అంకగణితమునకు సంబంధించిన ఏకాంశ దశాంశ సంఖ్యా విధానము మనము ఋగ్వేదము (2.18.5-6) లో చూడవచ్చును. ఇవి, శూన్య, ఏకం, ద్వి, త్రి, చతుర్, పంచ, షట్, సప్త, అష్ట, నవ, దశ అనియు, వింశతి , ఏకవింశతి, ద్వావింశతి, త్రయోవింశతి, చతుర్వింశతి, పంచవింశతి, షడ్వింశతి, సప్త వింశతి, అష్టవింశతి, నవ వింశతి, త్రింశతి.....అని ఈ విధం గా కొనసాగుతాయి. ఋగ్వేదము (2.14.16) లో 100 వేలను గూర్చి కూడా తెలుపడం జరిగింది. ఋగ్వేదము (1.14.7) లో దాదాపు ఒక వంద పర్యాయములు ఈ సంఖ్యలను గూర్చి

ఉటంకించబడింది. తైత్తిరీయ, మైత్రాయనణి, కఠ సంహితలలో గూడా ఈ అంకెల గూర్చిన వివరములు మనకు గానవస్తాయి. అధర్వణ వేదములో (6.25.1 thru 6.25.3, 7.4.1) 1కి 10కి

3 కు 30 కి, 5కు 50 కి..... గల సంబంధాన్ని తెలియజేస్తుంది. SAKSIVC Page 10 of 33 {Sri Aurobindo Kapali Sastry Institute of Vedic Culture (Bangalore, India)} చదివితే ఈ వేదిక గణిత శాస్త్ర వివరములు తెలుసుకొన వచ్చును.

ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రము ... 2
అసలు సనత్కుమారునికి తనకు తెలిసిన విద్యలను గూర్చి చెబుతూ నారదుడు ఈ విధముగా అంటాడు :
ఋగ్వేదం భగవోऽధ్యేమి యజుర్వేదసామవేదమాథర్వణం చతుర్థమితిహాసపురాణం పఞ్చమం వేదానాం వేదం పిత్ర్యరాశిం దైవం నిధిం
వాకోవాక్యమేకాయనం దేవవిద్యాం బ్రహ్మవిద్యాం భూతవిద్యాం క్షత్రవిద్యాం నక్షత్రవిద్యా సర్పదేవజనవిద్యామేతద్భగవోऽధ్యేమి -- ఛాందోగ్యోపనిషత్తు||7.1.2||

ఇందులో వేదాంత పరమైన విద్యలతో నేరుగా సంబంధము లేనివి, రాశి అనగా గణితము, దైవం అనగా ఉత్పాత సూచనా శాస్త్రము, నిధి అనగా ఆర్ధిక శాస్త్రము, వాకోవాక్యమేకాయనం అనగా తర్కము, భూత విద్య అనగా ప్రకృతి శాస్త్రము. ఇవి అన్నియు తానూ నేర్చుకున్నట్లు చెబుతాడు నారదుడు. అంటే గణితమునకు ఎంత ప్రాముఖ్యత ఎంత ప్రాధాన్యతను మనవారిచ్చినారో మనము అర్థము చేసుకొనవచ్చును. ఈ శాస్త్రము మన దేశము నుండి మధ్య ప్రాచ్యమునకు (Middle East) చైనా మరియు ఐరోపా ఖండమునకు ప్రాకినది. దీనిపై , మనము పరిశోధించే ఆవకాశమివ్వక, ఎందుకంటే మనము వారి బానిసలము కాబట్టి మరియు మనము సంస్కృతము చదివే అవకాశమే లేకుండా చేసి, మన పండితుల వద్ద , వారికి ఇతోధికముగా పారితోషికములిచ్చి వారు నేర్చుకుని తమ పేర్లను ప్రాచుర్యమునకు తెచ్చుకున్నారు.

కృష్ణ యజుర్వేదము లోని తైత్తరీయ సంహితలోని నాలుగవ విభాగములోని ఏడవ అనువాకము లో చమకము చెప్పబడుతుంది .

ఏకాచమేతిస్రశ్చమేపంచచమేసప్తచమే నవచమఏకాదశచమేత్రయోదశచమే

పంచదశచమేసప్తదశచమేనవదశచమ ఏకవిగ్ంశతిశ్చమేత్రయోవిగ్ంశతిశ్చమే

పంచవిగ్ంసతిశ్చమేసప్తవిగ్ంశతిశ్చమే నవవిగ్ంసతిశ్చమఏక–త్రిగ్ంశచ్చమే

త్రయస్–త్రిగ్ంశచ్చమే చతస్–రశ్చమేஉష్టౌచమేద్వాదశచమే

షోడశచమేవిగ్ంశతిశ్చమే చతుర్–విగ్ంశతిశ్చమేஉష్టావిగ్ంశతిశ్చమే

ద్వాత్రిగ్ంశచ్చమేషట్–త్రిగ్ంశచ్చమే చత్వారిగ్ంశచ్చమేచతుశ్–చత్వారిగ్ం శచ్చమేஉష్టాచత్–వారిగ్ంశచ్చమే

 (కాస్త నాకు తెలిసిన మేరకు మరొక పర్యాయము ముచ్చటించుకుందాము)

******************************************************************************************************************************

ప్రాచీన భారతీయ గణిత శాస్త్రము ...3

ఇందులో 1 నుండి 20 వరకు వర్గములు వస్తాయి. ఒకసారి గమనించుదాము.

"ఏకాచమే అనగా ఒకటి. త్రిస్రశ్చమే అనగా ఒకటికి మూడు కలిపి, వర్గమూలము కనుగొనగా రెండు. పంచచమే అనగా నాలుగుకు అయిదు కలుపగా తొమ్మిది వచ్చును. దాని వర్గమూలము మూడు అగును. సప్తచమే అనగా ఇందాక వచ్చిన తొమ్మిదికి ఏడు కలుపగా పదహారు వచ్చును. దాని వర్గమూలము నాలుగు. నవచమే అనగా ఇందాక వచ్చిన పదహారుకు తొమ్మిది కలుపగా ఇరవై అయిదు వచ్చును. దాని వర్గమూలము అయిదు. ఏకాదశచమే అనగా ఇందాక వచ్చిన ఇరవై అయిదునకు పదకొండు కలుపగా వచ్చిన ముప్పైఆరునకు వర్గమూలము ఆరు. త్రయోదశచమే అనగా ముప్పైఆరునకు పదమూడు కలిపి వర్గమూలము కనుగొన్న ఏడు వచ్చును. పంచదశచమే అనగా నలభై తొమ్మిదికి పదిహేను కలిపిన 64 వచ్చును. దానికి వర్గమూలము 8 . సప్తదశచమే అనగా 64 నకు 17 కలిపిన 81 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 9 . నవదశచమే అనగా 81 కి 19 కలుపగా 100 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 10. ఏకవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 100 కు 21 కలుపగా 121 వచ్చును. దానికి వర్గమూలము 11 . త్రయోవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 121 కి 23 కలుపగా 144 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 12 . పంచవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 144 కి 25 కలుపగా 169 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 13 . సప్తవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 169 కి 27 కలుపగా 196 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 14 . నవవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 196 కి 29 కలుపగా 225 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 15. ఏకత్రిఇంశతిశ్చతు అనగా 225 కి 31 కలుపగా 256 వచ్చును. దాని వర్గమూలం 16 . త్రయోవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 256 కి 33 కలుపగా 289 వచ్చును. దాని వర్గమూలం 17 . పంచవింగ్ శతిశ్చమే అనగా 289 కి 35 కలుపగా 324 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 18 . సప్తత్రింగ్ శతిశ్చమే అనగా 324 కి 37 కలుపగా 361 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 19 . నవత్రింగ్ శతిశ్చమే అనగా 361 కి 39 కలుపగా 400 వచ్చును. దాని వర్గమూలము 20 ." కొందరు దీనికి పారమార్థికమైన అర్థమును అన్వయించి చెబుతారు. ఇందులో ఇంకొక విషయమేమిటంటే 1,3,5,7,9,11.....ఇవి అంక శ్రేఢి సంఖ్యలు (Arthmetic Progression) గా తెలియ వస్తాయి. గమనించితే 1 కి 3 కు, 3 కు 5 కు, 5కు 7కు....... మధ్య భేదము 2 . ఈ 2 ను పదాంతరము లేక సామాన్య భేదము అంటారు. ఆంగ్లములో దీనిని Common Difference అంటారు. 4 నుండి 48 వరకు వచ్చే సంఖ్యల మధ్య సామాన్య భేదము 4. ఈ విధముగా, చరిత్రకు అందని కాలము నుండి గణితము మన సంస్కృతిలోని భాగమైనది. నేను తెలిపే ఈ విషయము గణితముతో సంబంధము లేకపోయినా చాలామంది జిజ్ఞాసువుల మదిలో మెదిలే ఒక సందేహమును నేను చదివి అర్థము చేసుకున్న మేరకు మీకు తెలియబరచుతాను.

డాక్టర్ శశిధరన్ ప్రకారము , ఈ సంఖ్యలు జీవిత మరియు మేధో పరిణామక్రమమును, ఆపస్(సంస్కృత నామము) అనగా నీరు, అనగా జలాణు సమూహాన్ని అణుపుంజ శృంఖలను, సూచిస్తాయి. ఈ ఆపస్ అనునది DNA యొక్క నత్రజని పూరిత మూల సమ్మేళనమే! సంఖ్యలు 1 నుండి 33 వరకు DNA యొక్క కణశక్త్యాగారపు (మైటోకాండ్రియల్ బేస్) 33000 ఆధార యుగ్మములను సూచిస్తాయి. సంఖ్యలు 4 48 అన్నవి 4కోట్ల 80 లక్షల DNA అణు స్థావరాలను సూచిస్తాయి. DNA ఆధారములగు రెండు శ్రేణులును మానవ శ్రేయస్సు మరియు మానవ జీవిత భవిష్యత్ పరిణామ దోహదములు. భక్తుడు ఈ సంఖ్యలకు సంబంధించిన మంత్రోచ్ఛారణముచే అనుష్ఠాత రుద్రుని విశ్వ మానవ శ్రేయస్సు మరియు ఆనందమును కోరుచున్నాడు. తాను బాగుండుటయే కాదు సమస్త లోక కల్యాణమును కోరుకుంటున్నాడు. అందుకే పూజావసాన సమయమున లోకాః సమస్తాస్సుఖినోభావంతు అని చెప్పుట.

వాజసనేయ సంహితలో (17.2) ఒక మంత్రము ఈ విధముగా వుంటుంది.

ఏకాచ దశ చ దశ చ శతం చ శతం చాయుతం చ

ఆయుతం చ ఆయుతం చ నియుతం చ నియుతం చార్బుదం చ ......

ఈ మంత్రము 10,100,1000,10000 ….. ఈ విధముగా తెలుపుతుంది. అంటే 102, 103 , 104 ....... ఇవి గుణ శ్రేఢి (GEOMETRIC PROGRESSION) లో వున్నాయి. ప్రతి రెండు వరుస సంఖ్యల మధ్యనున్న సామాన్య భేదము (COMMON DIFFERENCE) 10. మరి గణితము వేదము చేతనే ప్రతిపాదింపబడి వుంటే కాలనిర్ణయము చేయుటకు మన మెవరము.

వేదాంగమైనటువంటి ‘జ్యోతిషము’ గణితమును గూర్చి ‘అది నెమలికి తురాయి పాముకు మణి వంటిది’ అని చెబుతూ వున్నది. ఈ వివరముల గూర్చి తెలుపుట ఎంత కష్టమైన విషయమో వ్రాసేవారికి మాత్రమె తెలుస్తుంది, చదివే వారికి ఒక పావు గంట చాలు. అందుకే పెద్దలంటారు ‘కుమ్మరికొక ఏడూ గుదెకొక నాడు’ అని. అసలు నా ఉద్దేశ్యములో శ్రద్ధగా చదివేవారికంటే కష్టపడి వ్రాసేవారు ఎక్కువగా ఉన్నారేమో!

మళ్ళీ అసలు విషయానికొద్ధాము.

అత్యంత ప్రముఖ శాస్త్రవిమర్శకుడైన జర్మన్ దేశస్తుడగు ష్లెగిల్ తన   History of Literature, p. 123 లో ఈ విధముగా వ్రాస్తూయున్నారు: "The decimal cyphers, the honor of which, next to letters the most important of human discoveries, has, with the common consent of historical authorities, been ascribed to Hindus." ధారణ విషయసంగ్రహణ లో భారతీయులు నిష్ణాతులని చెప్ప వచ్చును. శాస్త్రముల కన్నింటికి మూలమైన  గణితమున భారతీయులు అందె వేసిన చేయి అని ఎందఱో పాశ్చాత్యులలో నిష్కల్మషముగా పొగిడిన వారున్నారు. Is India Civilized? - Essays on Indian Culture - By Sir John Woodroffe Ganesh & Co. Publishers 1922 p. 182 చదివితే మన దేశపు ఔన్నత్యమును విదేశీయ ప్రముఖులు ఎంతగా గుర్తించినారో అర్థమౌతుంది.

డాక్టర్ డేవిడ్ గ్రే ఏమి వ్రాస్తున్నారో గమనించండి :

Dr. David Gray writes:

"The study of mathematics in the West has long been characterized by a certain ethnocentric bias, a bias which most often manifests not in explicit racism, but in a tendency toward undermining or eliding the real contributions made by non-Western civilizations. The debt owed by the West to other civilizations, and to India in particular, go back to the earliest epoch of the "Western" scientific tradition, the age of the classical Greeks, and continued up until the dawn of the modern era, the renaissance, when Europe was awakening from its dark ages."

వాళ్లెంత వ్రాసినా మనకు శ్రద్ధ ఉంటేనే ఇవి తెలుసుకొని ఇంకా ముందుకు పోయి పరిశోధించ గలుగుతాము. క్రీస్తు శకము 3వ శతాబ్దములో

పింగళుడు

1.    మాత్రికా (Matrix) సంవిధానము

2.    ద్వైయామ్శిక సంఖ్యా (Binary Numbers) నిర్మాణము

3.   ద్వైయామ్శిక స్మృతి (Code) , Telegrapah లో ఉపయోగించిన Morse code లాగా

4.    మొదటి సారిగా Fibonacci series ( 0+1=1; 1+1 =2 ; 1+2=3 ; 2+3=5; 3+5=8......) ఉపయోగము

5.    మొదటి సారిగా మేరు ప్రస్తారము (Pascal's triangle)

6.    మొదటి సారిగా శూన్యము (Zero) యొక్క ఉపయోగము

పాణిని మరియు  పింగళ శాస్త్రజ్ఞుల యొక్క ఆవిష్కరణల వల్లనే పై విషయములు వెలుగులోనికి వచ్చినవి.

(ఆధారము : Science and Mathematics in India). Refer to chapter on Hindu Music and Indian Mathematics.)

******************************************************************************************************************************

పైథాగొరస్ థీరం (Pythagoras's theorem.)
Pythagoras's theorem and Pythagorean triples arose as the result of geometric rules. It is first found in the Baudhayana sutra - so was hence known from around 800 BC. It is also implied in the later work of Apastamba, and Pythagorean triples are found in his rules for altar construction. Altar construction also led to the discovery of irrational numbers, a remarkable estimation of  2 in found in three of the sutras. The method for approximating the value of  2 gives the following result:
2 = 1 + ¹/₃ + ¹/_3.4 - ¹/_3.4.34



sine and cosine
Ancient and medieval Indian mathematical works, all composed in Sanskrit, usually consisted of a section of sutras in which a set of rules or problems were stated with great economy in verse in order to aid memorization by a student. This was followed by a second section consisting of a prose commentary (sometimes multiple commentaries by different scholars) that explained the problem in more detail and provided justification for the solution. In the prose section, the form (and therefore its memorization) was not considered so important as the ideas involved. All mathematical works were orally transmitted until approximately 500 BCE; thereafter, they were transmitted both orally and in manuscript form. The oldest extant mathematical document produced on the Indian subcontinent is the birch bark Bakhshali Manuscript, discovered in 1881 in the village of Bakhshali, near Peshawar (modern day Pakistan) and is likely from the 7th century CE.
A later landmark in Indian mathematics was the development of the series expansions for trigonometric functions (sine, cosine, and arc tangent) by mathematicians of the Kerala school in the 15th century CE. Their remarkable work, completed two centuries before the invention of calculus in Europe, provided what is now considered the first example of a power series (apart from geometric series). However, they did not formulate a systematic theory of differentiation and integration, nor is there any direct evidence of their results being transmitted outside Kerala.

క్రీ.శ.1675 లో రోమర్ అనే అతను కాంతి వేగాన్ని లెక్కించినాడని అంటుంది ప్రాశ్ఛ్యాత్య ప్రపంచం. ఇందులో నిజం లేదు. ఎందుకంటే? అంత కంటే ఇంచు మించు నాలుగు వందల సంవత్సరాల క్రితమే శ్రీ సాయణాచార్యులు 14 వ శతాబ్దములో ఋగ్వేద భాష్యంలో ఒక ఋగ్వేద శ్లోకానికి భాష్యంగా కాంతి వేగాన్ని వర్ణిస్తూ ఒక శ్లోకం వ్రాశారు. అది:శ్లో: యోజనానాం సహస్త్రం ద్వే ద్వేశతేద్వె చ యోజనే| ఏకేన నిమిషార్థేన క్రమమాణ్ నమో స్తుతే|| అనగా అరనిమిషానికి 2202 యోజనాల దూరం ప్రయాణించు ఓ కాంతి కిరణమా నీకు నమస్కారము అని ఆ శ్లోకానికి అర్థం. ఇక్కడ యోజనము అంటే 9.11 మైళ్ళకు సమానం. భారతీయ కాల గమన ప్రకారం...... 1 పగలు రాత్రి + 810,000 అర్థ నిమిషాలు. కనుక ప్రతి అరనిమిషమునకు 2202 x 9.11 = 20060 మైళ్ళు అట్లే .... 20062 8.75 = 188064 మైళ్ళు ప్రతి సెకనుకు. ఇది అధునికులు కనుగొన్న కాంతి వేగానికి దాదాపు సమీపముగానే వున్నది. 20 వ శతాబ్దపు శాస్త్రవేత్త లయిన మెకీల్ సన్స్, మోర్లే కాం వేగం 1, 86,300 మైళ్ళు ఒక సెకనుకు అని కనుగొని వున్నారు. ఇది ప్రస్తుతానికి ప్రమాణము.

శ్రీ సాయణాచార్యులు చెప్పిన విషయం 1890 వ సంవత్సరంలో మాక్సుముల్లర్ సంకలనం చేసిన ‘ఋగ్వేద’  అను ఆంగ్ల గ్రంథంలో కూడ ప్రస్తావించడం జరిగింది. కనుక కాంతి వేగాన్ని ఎవరు ముందు కనిపెట్టినట్లు?